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Las geometrías no euclídeas: Historia, aplicaciones, y conjeturas

Contacte al Autor: Agustín Monge Piedra

A modo de introducción

Cuando iniciaba mis estudios profesionales en matemática, uno de los principales objetivos que en ese entonces tenía radicaba en averiguar el significado y respuesta de ciertas dudas de mis estudios en secundaria, espacio en el cual entendí mi gusto por esta asignatura. Algunas de estas dudas giraban en torno a problemas de orden geométrico, tales como el poder determinar el centro exacto de una circunferencia dada o determinar el porqué de la imposibilidad de la cuadratura del círculo. En el campo de los números otras de mis dudas eran la distribución de los números primos, o los decimales exactos del número π.

 

Un día en que estaba con varios de mis compañeros de carrera cuando salíamos de uno de los cursos de Geometría, uno de ellos salió en especial pensativo, y preguntó abiertamente: “¿Por qué, si la Tierra es redonda, es posible que nosotros veamos espacios rectilíneos, y que las casas y edificios tengan equilibrio siendo que estos son rectos y la superficie en la que están es la Tierra, es decir redonda…?”.

 

Creo que mi amigo no entendía en ese momento la gran importancia de su pregunta, y creo también que él mismo no esperaba obtener una respuesta. Sin embargo, dado que escuché la pregunta, y que yo mismo tenía dudas matemáticas de ese género, me atreví a dar una respuesta que en ese espacio me pareció bastante plausible: “Eso se da, amigo, porque la Tierra es muy grande y nosotros somos tan pequeños, así como los espacios en que nos movemos, que la redondez de la Tierra no nos afecta en nuestro mundo inmediato y nos basta con hacer pequeñas secciones rectas en la superficie terrestre, sobre las cuales nuestras casas y edificios encuentran la estabilidad que necesitan… como formando pequeñas cuerdas”. En ese momento yo no llegué a comprender la complejidad de la pregunta de mi amigo, y menos aún la simpleza de mi respuesta. Él escuchó mis argumentos y aceptó que tenían algún grado de certeza, pero sin quedar completamente convencido.

 

Sin comprender las implicaciones de las reflexiones antes mencionadas, creo que en ese momento lo que se dio fue una especie de controversia en pequeña escala sobre lo que sucedió en la geometría durante miles de años por la cuestión de la existencia o no de un mundo completamente euclidiano, o que pudieran existir otras formas de entender e interpretar el mundo geométrico. E igual que sucedió durante miles de años hasta que se llegó a la creación de las geometrías no euclídeas, en ese pequeño espacio de discusión académica estudiantil las respuestas tampoco fueron claras y convincentes para ninguna de las partes.

 

Surgimiento de las geometrías no euclídeas

 

La geometría como tal seguramente inicia desde el mismo momento en el que el ser humano requiere ubicarse en el espacio que le rodea. En griego, la palabra “geometría” (etimológicamente hablando) quiere decir “medida de la tierra”. Es decir, esta disciplina surge como una necesidad de medir la tierra (entendida esta como el planeta en el que estamos) y su relación con los diferentes usos que de esta hacemos.

 

Según varios autores, la geometría nace probablemente en Egipto gracias a la utilización que de esta hicieron los agrimensores para medir los espacios cultivables cerca del río Nilo, y el posterior cálculo de las cosechas realizadas. A pesar de esto, parece ser que la geometría sobrevino aun mucho antes, ya que hay evidencias de que otras culturas incluso llegaron a sistematizar tales conocimientos (Ruiz, 1999).

 

Las culturas babilónica, egipcia, mesopotámica, china e hindú (antiguas), e incluso culturas indígenas americanas (como la maya) llegaron a desarrollar grandes conocimientos sobre geometría, basados fundamentalmente en la resolución de problemas y el planteo de “recetas” específicas para cada problema. No es, sin embargo, hasta la cultura griega clásica (helenística) que la geometría se empieza a sistematizar como una disciplina de conocimiento humano fuertemente sustentada.

 

Los avances hechos por los pitagóricos (fundados sobre todo por el famoso teorema de Pitágoras), los logros realizados por Thales de Mileto, y las increíbles construcciones de Arquímedes son ejemplos claros de esta evolución teórica y práctica de la geometría, en la que incluso para muchos la geometría era algo casi místico y poco menos que religioso. No sobra mencionar la famosa frase en la entrada de la escuela pitagórica: “Que no ose pasar esta entrada quien no sepa geometría”.

 

A pesar de lo anterior, el gran salto teórico que se dio en la geometría antigua, y que ha influido todo su posterior desarrollo como ciencia, es sin duda la obra de Euclides. Este fue un matemático y geómetra griego que vivió en Alejandría. Su principal aporte a la ciencia matemática fue la recopilación, condensación y sistematización de los conocimientos geométricos que existían en la Antigüedad. Además de eso, lo que más marca su ya de por sí increíble aporte es el sistema exhaustivo que usó para probar como verdaderos tales conocimientos matemáticos y geométricos. Euclides planteó una axiomatización lógica de la matemática y de la geometría, como método predominante para el diseño, abordaje y solución de los problemas teóricos.

 

Este compendio de conocimientos geométricos, así como su sistema axiomático, basado este en la formulación de definiciones, postulados, axiomas, y teoremas, sobreviven hasta los tiempos modernos como base de la cultura generalizada de la geometría, y de buena parte de la matemática. Es tal la firmeza con la que se tomó su axiomatización, y la validez dada a los conocimientos geométricos que usó, que la “geometría de Euclides” es la que se estudia actualmente en la mayoría de centros educativos de todo el mundo, desde la educación más básica hasta la más avanzada. Es decir, el legado de Euclides ha sobrevivido más de dos mil años prácticamente sin cambios; y los pocos que quizás se han realizado únicamente han ido en la vía de la simbología o notación utilizada por los matemáticos y geómetras de las épocas posteriores a él.

 

Un ejemplo claro de los aportes de Euclides, no solo en el campo de la geometría, sino de la matemática en general, es el hecho de que fue él quien, de una forma elegante y sencilla, demostró que existen infinitos números primos. Primero Euclides asumió que la lista de números primos es finita, y se imaginó hacer la lista de todos los primos: p1, p2, p3, ..., pn. A partir de estos, como los números en sí son infinitos, se puede crear otro número R, tal que .  Este nuevo número R puede ser primo o compuesto. Si es primo, tenemos entonces un nuevo primo que no estaba en la lista finita de primos original, y por tanto esa lista estaba defectuosa. En el caso de que R sea compuesto, necesariamente tendrá que ser divisible por algún número primo que no puede ser uno de los de la lista, ya que al dividir R por cualquiera de los primos de la lista siempre obtendremos 1 como residuo. Por lo tanto, tiene que existir al menos otro primo pn+1, por el cual sería divisible. En cualquiera de los dos casos se encuentra que la lista “finita” de números primos no estaba completa, y por contradicción se concluye que la lista de primos debe ser infinita.

 

Es tan fuerte el legado de Euclides que la geometría clásica que todos estudiamos se denomina “geometría euclídea” o “geometría euclidiana”, a pesar de que esto no significa necesariamente que todos los resultados fueran obra creadora exclusiva del mismo Euclides. Su obra magistral fue la llamada “Los Elementos”, que consta de varios volúmenes de tratados de matemática y geometría, y que ha sido una obra de gran trascendencia en toda la historia académica, científica, y hasta educativa. Como dice Luque (1999):

 

Euclides no fue propiamente un gran innovador, pero tuvo la habilidad de escribir en términos claros y breves las demostraciones alcanzadas por Tales, Eudoxo, y otros sabios de la edad de oro de la Geometría griega, tales como Demócrito, Hipócrates de Quíos y Arquitas. Esta obra maestra de lógica deductiva, en la que se unifican los mejores esfuerzos de esas mentes creadoras, ha conservado por más de dos milenios todo su valor y es considerada como la colección de pensamientos más rigurosamente razonados que se haya escrito.

 

Euclides basó la exposición del conocimiento geométrico en la formulación de varias definiciones, y postulados (verdades absolutas que son evidentes y no necesitan de demostración matemática), para luego llegar a la formulación y demostración de proposiciones y los teoremas de la geometría. Algunos de los más famosos teoremas de la geometría son el de Pitágoras y el de Thales, entre muchos otros (Bussey, 1922, p. 446).

 

Euclides formuló una serie de definiciones, y postulados (cinco en total) que posteriormente usó para demostrar una serie de proposiciones y teoremas. Lo curioso es que en la formulación de las primeras 28 preposiciones utilizó las definiciones y los primeros cuatro postulados; sin embargo, cuando llegó a la preposición 29, Euclides tuvo necesidad de incorporar un quinto postulado, y sobre este, hacer la demostración respectiva. El historiador matemático W. H. Bussey (1922, p. 446) nos advierte de esto cuando nos dice:

 

Hay otro axioma de Euclides que generalmente se conoce como el Postulado 5, que difiere de los que he citado y de todos los demás. Es prolijo. Tiene diferentes lugares en los diferentes textos realizados por el hombre. No se utiliza en las primeras 28 proposiciones y entonces sólo se utiliza para demostrar el recíproco de una proposición previamente probada. Suena más como una preposición que un axioma.

 

Euclides plantea cincos postulados. Los mismos se enumeran a continuación:

 

1. Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro.

2. Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida.

3. Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia.

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5. Si una recta, que corte a otras dos, forma con éstas ángulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortarán del lado en que dicha suma sea menor que dos rectos.

 

Este quinto postulado es el punto de inflexión en el análisis de la geometría. Por su redacción, por el hecho de que no fue necesario (según el uso que de este hizo el mismo Euclides), y la imposibilidad de ver rectas paralelas hasta el infinito, para muchos matemáticos el quinto postulado debía ser demostrable. Esto es: dadas dos rectas, al dibujar una tercera recta que corte a las dos anteriores, si los dos ángulos formados en el mismo lado de la tercera recta son agudos, entonces las dos rectas originales se intersecarán en algún punto.

 

Este tiene otras acepciones igualmente válidas, dentro de las cuales la más conocida es la que afirma que, dada una recta, y un punto externo a esa recta, es posible dibujar una única recta paralela a la recta original que pase por el punto dado.

 

El meollo de la controversia es por qué el mismo Euclides no necesitó de este quinto postulado sino hasta que había demostrado 28 preposiciones anteriores, y solo aparece para demostrar la proposición 29, que es justamente el recíproco del 28. Al respecto, Bussey (1922, p. 448) nos dice:

 

Usted debe tener en cuenta la Proposición 28, el Postulado 5 y la Proposición 29. Para ello expondré muy brevemente los tres en términos de un solo diagrama.

 

 

 


 

 

 

 

Proposición 28: Si a + b = 180, las líneas I y m son paralelas. Postulado 5: Si a + b <180, líneas l y m se encuentran. Proposición 29: Si las líneas l y m son paralelas, a + b = 180. Recuerde que Euclides demostró la proposición 28 y luego tuvo que asumir el Postulado 5 con el fin de demostrar la Proposición 29.

 

Esto dejó la inquietud en muchos matemáticos de que tal postulado debía más bien ser un teorema, y por tanto susceptible de ser demostrado. Esta controversia lleva posteriormente a la aparición de muchos matemáticos que intentarán demostrar el quinto postulado, generando poco a poco la conceptualización de las geometrías no euclídeas. Quizás el mismo Euclides sabía de la lucha teórica que representaría este quinto postulado, ya que él mismo no lo utiliza sino hasta bastante avanzado su trabajo. Aún así las bases teórico-matemáticas dejadas por Euclides fundamentarán el trabajo académico de dicha disciplina por muchos siglos.

 

Durante 23 siglos la idea de que la obra de Euclides era definitiva estuvo presente de forma incuestionable, e incólume. Empero, en el siglo XIX se suscita un cambio en la visión de la matemática y de la geometría (Ruiz, 1999, p. 41). De hecho para Bussey (1922, p. 449) ese cambio empezó a generarse desde mucho antes con los aportes de Geminius en el 50 a.C., Ptolomeo en el siglo II a.C., y Proclus en el siglo V, e incluso quizás con los aportes de los matemáticos y artistas del Renacimiento.

 

Los primeros esfuerzos de que se tiene noticia fueron los realizados por Ptolomeo en el siglo II a. C., quien creyó haber demostrado el quinto postulado. Próculo hacia los años 400 de la era cristiana demostró que la prueba dada por Ptolomeo estaba equivocada, dando él mismo una nueva prueba del quinto postulado. También resultaría estar equivocada, aunque este dejó como legado una de las formas más conocidas del quinto postulado que se usa hasta nuestros días en muchas escuelas de matemática. Esta afirma que dada una recta y un punto exterior a esta recta, es posible dibujar solo una recta paralela a la recta dada y que pase por dicho punto.

 

Para los siglos XV y XVI, durante el Renacimiento, se empiezan a dar pequeños saltos en una ruta de revolución académica, teórica y artística que desembocará con la creación de las geometrías euclídeas y la matemática actual. Uno de los principales representantes de esta revolución es el artista y matemático Piero della Francesca, que hace el redescubrimiento de una técnica artística y matemática dejada de lado por años, y que cambiaría la forma de ver las cosas tanto del mundo real como de la interpretación geométrica. Esta es la perspectiva, ya que durante muchos años los trabajos de casi todo se hacían únicamente vislumbrando un único plano. Es decir, representar en un plano de dos dimensiones una imagen que cause el efecto de tres dimensiones. En su obra más brillante, La flagelación de Cristo, Piero utiliza conceptos matemáticos para lograr tal efecto. Observemos que las líneas paralelas del cuadro en realidad no son paralelas, sino que se cruzan en lo que se llama el punto de fuga:

 

 

 

 

 

 

 

Figura 1: Punto de fuga en La flagelación de Cristo

 

En realidad vemos que el problema de esta geometría es siempre la interpretación de las paralelas. De hecho, por mucho tiempo el problema del quinto postulado fue llamado también “el problema de las paralelas”.

 

Los siguientes trabajos de importancia en este camino los dan Saccheri (hacia el año 1697) y Lambert (hacia el año 1800). El primero intentó demostrar el quinto postulado por reducción al absurdo, planteando que si en un cuadrilátero dos de sus ángulos son rectos, los otros dos ángulos cumplirían alguna de las siguientes tres condiciones: 1) los otros dos ángulos son agudos, 2) los otros dos ángulos son obtusos, o 3) los otros dos ángulos son rectos. La tercera posibilidad es equivalente al quinto postulado, y si reducía al absurdo las dos primeras, el quinto postulado estaría probado. Pero no solo no logró llegar a tal contradicción sino que llegó a varios de los teoremas de las geometrías no euclídeas modernas.

 

A Lambert le sucedió algo similar: él trato de demostrar el quinto postulado también por oposición, enunciando que, dado un cuadrilátero, si tres de sus ángulos son rectos el otro también es recto. Esto sería equivalente al quinto postulado. Tampoco lo demostró, e igual que Saccheri fue capaz de enunciar más teoremas de la geometría no euclídea.

 

Los siguientes grandes avances los dieron Gauss (hacia 1817) y Bolyai (1823). Gauss reflexionó sobre la forma del espacio, pensando que el universo podría no ser plano, y por consiguiente no existiría nada plano, y que por lo tanto la geometría de Euclides sería incompleta. Gauss trató de demostrar el quinto postulado con los cuatro precedentes, e igualmente no lo logró pero reflexionó sobre la posibilidad de que hubiera grandes implicaciones al considerar que no solo existiera una única paralela a la recta dada por un punto. Nunca publicó sus resultados.

 

Yanos Bolyai, transilvano de nacimiento, fue otro matemático que lidió con el problema de las paralelas. Su padre, matemático de profesión, era amigo de Gauss, y cuando vio la habilidad matemática de su hijo, pidió consejo a Gauss para que este enseñara a su hijo. Gauss, sin embargo, no aceptó. Yanos se enlistó en el ejército, y se dedicó a la matemática en sus tiempos libres, explorando lo que él llamaba “geometría imaginaria”, y que tendría una interpretación muy cercana a observar una esfera dentro de un espejo en el cual todas las líneas se curvan unas sobre otras.

 

Bolyai, por su parte, sí publica sus resultados, donde propone que debe existir otra geometría en la que el quinto postulado no entre en conflicto. El padre de este le envía una copia a su amigo Gauss, quien acepta la validez de los resultados de aquel, pero no le da mayor mérito, ya que él mismo había resuelto tales teorías al menos 10 años antes. Como dijimos, Gauss no publicó sus descubrimientos. Se dice que incluso Bolyai cayó en la pobreza y en la locura, y muere finalmente en el más absoluto anonimato.

 

En el siglo XIX surgen también importantes matemáticos como Legendre y Lobatschewsky, que intentaron demostrar el quinto postulado. Este último marcará un hito en el desarrollo de la geometría. El aporte de Lobatschewsky fue preponderante. Sus primeros análisis sobre la cuestión del quinto postulado y sobre las rectas paralelas queda plasmado en un libro suyo llamado La Teoría de Paralelas (Bussey, 1922, p. 450). Estas ideas fueron poco conocidas hasta que se hicieron otras publicaciones en alemán y francés. Según parece, Lobatschewsky trataba de demostrar el quinto postulado por reducción al absurdo, y supuso que no existía solo una recta paralela a otra que pase por un punto dado, sino que existía más de una (Bussey, 1922, p. 450). La idea básica de Lobatschewsky fue la siguiente:

 

 

 

 

 

Figura 2: Idea de Lobatschewsky

 

Dada una recta m, sea un punto A en esta, y sea P un punto fuera de la línea.  Muévase el punto A indefinidamente hacia la derecha, y sea la línea r la recta que define la aproximación con la línea AP. Luego supóngase que el punto A se mueve indefinidamente hacia la izquierda, y sea la línea l la recta que define la aproximación con la línea AP en ese sentido. Dadas tales condiciones, toda recta que pase por P pasando por medio del ángulo a entre las líneas l y r NO interseca a la recta m original, y por lo tanto es paralela a esta. El número de rectas que cumple tal condición es infinito.

 

Lobatschewsky demostró varios teoremas con su nueva suposición, pero nunca llegó a una contradicción, y finalmente concluyó que es imposible demostrar el quinto postulado por medio de los precedentes. Esto, sin embargo, dio origen a un nuevo tipo de visión de la geometría, que, negando el quinto postulado, obtiene teoremas igualmente válidos. Nacen así las geometrías no euclídeas. Algunas de las ideas probadas bajo esta nueva visión son, por ejemplo, que la suma de los ángulos internos de un triángulo es menor que 180°, en un cuadrilátero que tiene tres ángulos rectos el cuarto ángulo es agudo, las líneas paralelas se acercan la una a la otra continuamente, entre muchos otros… (Bussey, 1922, p. 453). Esta geometría de Lobatschewsky más tarde sería llamada “geometría hiperbólica”.

 

Dentro de la revolución teórica de la matemática y geometría que se da durante aquellos años, otro discípulo de Gauss surge convirtiéndose en gran matemático y geómetra: Bernhard Riemann. Este igualmente niega el quinto postulado, y a partir de ello genera otra nueva geometría en la que, más bien, dada una recta y un punto fuera de esta no es posible dibujar ninguna recta paralela, sino que por el contrario supone que todas las rectas se intersecan en un único punto. Riemann (hacia el 1854) da el siguiente salto teórico cuando en su tesis doctoral presenta una reformulación de la geometría, y además teoriza sobre la “geometría elíptica o esférica”. En esta, cada línea recta es en realidad un círculo máximo de una esfera, y por un punto dado fuera de esta recta siempre es posible dibujar una recta que contiene al punto dado pero que no es paralela a la recta dada. Estas rectas siempre se intersecarán en “los polos” de la esfera. Tal es la llamada geometría esférica de Riemann.

 

De esta geometría se desprenden otras ideas matemáticas igualmente válidas, como por ejemplo: que la suma de los ángulos internos de un triángulo es mayor que 180°, en un cuadrilátero que tiene tres ángulos rectos el cuarto ángulo es obtuso, puede existir un triángulo con tres ángulos rectos, las líneas rectas son de longitud finita y siempre regresan a su punto de inicio, entre otras (Bussey, 1922, p. 454). Riemann describe además cómo es la geometría y su relación con el mundo, y hace un boceto en el que explica cómo podría ser la geometría considerando que los matemáticos tienen muchos tipos de espacios distintos (el espacio plano de Euclides es tan solo uno más de ellos). Riemann de hecho plantea una geometría multidimensional, en la que no ponía ninguna restricción a las dimensiones. Crea así el concepto de lo que en adelante llamaríamos el hiperespacio, es decir, un espacio que tiene cuatro o más dimensiones. Un espacio n-dimensional.

 

Desde este punto de vista, las geometrías no euclídeas se pueden dividir en dos grandes grupos: la lobachevskiana o hiperbólica, y la riemanniana o esférica o elíptica. Cabe mencionar que a la geometría euclidiana se le llama también geometría parabólica. El siguiente diagrama ilustra un poco las ideas nuevas, con las ideas predominantes hasta entonces.

 

 

 

 

 

 

 

Figura 3: Interpretación gráfica de los planos en las distintas geometrías

 

La aplicación y análisis de las nuevas geometrías no fue un mero ejercicio mental. Para muchos, estas nuevas geometrías explican mucho mejor los fenómenos físicos que superan la modesta percepción humana. Para Bussey (1922, p. 465), en los siglos XVII y XVIII quienes iniciaban el desarrollo de las geometrías no euclídeas eran “idealistas” que veían a la geometría como algo que no se debía supeditar al mundo físico conocido. En contraposición, los empiristas sostenían que la geometría no se podía alejar de las bases de la mecánica y del mundo físico conocido. Quizás por esto se dice que la geometría euclídea es una forma empírica de percibir el universo. 

 

De hecho, muchos de los grandes avances técnicos y teóricos de nuestra era se deben a la visión de las geometrías no euclídeas. El hecho más sobresaliente es la increíble aplicación que de estas hizo Einstein cuando desarrolló su teoría de la relatividad. La geometría clásica, la euclídea, se quedaba corta para sus investigaciones, y entonces tomó la geometría hiperbólica de Lobatschewsky como base teórica.

 

Las limitaciones presentes de solo considerar la geometría euclídea no son visibles para la mayoría de las personas que estudian matemática. La visión que nos permite la geometría de Euclides es suficiente para explicar la mayor cantidad de fenómenos a los que estamos expuestos. Las limitaciones se presentan cuando hay que explicar fenómenos de naturaleza mucho más abstracta y que implican la medición de distancias inconmensurables, o hasta viajes en el tiempo.

 

Vemos de esta manera que las principales fuentes de geometrías no euclídeas son la geometría hiperbólica y la geometría elíptica. No obstante, Riemann deja abierta la posibilidad que aparezcan más formas de interpretar a la geometría, dependiendo no solo del tipo de superficie que utilice, ni de si niega o reformula el quinto postulado de Euclides, sino también por el número de dimensiones que pueda utilizar.

 

Un notable trabajo sobre las geometrías fue elaborado por Félix Klein en 1872. En este, y ante la aparición y aceptación por el mundo académico y científico de las nuevas geometrías no euclídeas, Klein elabora una definición estricta de lo que debe entenderse por geometría, dejando de lado la idea intuitiva que cada quien pueda tener. Esta definición clara y concisa incluye además la utilización (iniciada por Descartes) de elementos algebraicos y analíticos, pues para entonces no estaba tan clara la idea de que la geometría sea únicamente el estudio de puntos, líneas (rectas o curvas) y superficies.

 

Este trabajo de Klein, junto con la conferencia en que Riemann daba sus aportes de la geometría, y la obra de los elementos de Euclides pueden considerarse como puntos trascendentales en el estudio, análisis y futura comprensión de la geometría. Para el momento en que Klein realiza su trabajo, una cuestión importante era entonces ¿qué es la geometría? Klein da la respuesta introduciendo un elemento de orden algebraico y analítico: el grupo. Un grupo G es un  conjunto en el cual se define una operación de tal manera que, al operar dos elementos de ese conjunto, el resultado es otro elemento del mismo conjunto. Además, para ser grupo debe cumplirse que la operación definida debe ser asociativa, tener elemento neutro, y ser simétrica.

 

Resulta claro el hablar de operaciones entre números, y expresiones algebraicas; pero no muchos comprenden cómo puede ser posible hacer operaciones con elementos geométricos. Todos lo hacemos de una u otra forma de manera casi constante y sin percatarnos de eso. Por ejemplo, cuando entre dos puntos que forman un segmento ubicamos otro punto, que llamamos “punto medio”, de hecho estamos operando puntos, para obtener otro punto.

 

Desde la óptica que analiza Klein, cada geometría es en realidad el estudio de ciertas propiedades que no cambian cuando se aplican a ciertas transformaciones. Klein descubre que, por ejemplo, la geometría euclidiana es el estudio de ciertas transformaciones mediante el grupo de los movimientos rígidos (como las simetrías, giros y traslaciones), que la geometría afín es el estudio de transformaciones mediante el grupo de las translaciones, que la geometría proyectiva es el estudio de transformaciones mediante el grupo de las proyectividades, e incluso que la topología es el estudio de las transformaciones mediante el grupo de las funciones continuas, etc. Además del aporte de Klein de definir rigurosamente lo que es la geometría, el otro elemento fundamental es la clasificación de las distintas geometrías. Sin entrar en detalle sobre el significado y objeto de estudio de cada una de ellas, se puede decir que Klein ve a la geometría euclidiana como una de las tantas divisiones en que se puede clasificar a la geometría, como la afín, elíptica simple, doble elíptica, hiperbólica, parabólica métrica, etc.

 

Una reflexión final a modo de conclusión: acercamiento a la geometría fractal, y una conjetura sobre el efecto Kessler

 

Como se ha mencionado antes, Riemann dejó abierta la posibilidad de analizar más tipos de geometría no solo por el objeto de su estudio, ni del tipo de superficie que esta analiza, sino además por el tipo de dimensión que se utilice. Una de estas geometrías es la geometría fractal, en la que, además de sus figuras tan peculiares, la dimensión de esta es fraccionaria. Este tipo de geometría se basa en las figuras llamadas fractales, que son figuras de gran complejidad, formadas por la autosimilitud e iteración constante de una misma figura sobre sí misma. Estas figuras son muy complejas, y contienen un área finita dentro de un perímetro infinito.

 

 

 

 

 

 

 

Figura 4: Figuras fractales

 

Este tipo de figuras de hecho es muy común en la naturaleza; de ahí que se dice que la geometría fractal es la geometría de lo natural. Muchas de las formas del cuerpo humano son fractales, como la estructura ósea, las redes neurales, o las intrincadas formas de la piel. Incluso hay grupos de investigadores que indagan la forma del órgano sexual masculino con geometría fractal para entender su intrincado funcionamiento. De hecho, es conocido que muchos de los tratamientos en seres humanos por medio de tecnologías láser o por irradiación entrañan grandes riesgos porque las formas del cuerpo humano no corresponden a figuras geométricas fijas, como círculos o triángulos, sino que son figuras más bien fractales.

 

Una de las situaciones más admiradas dentro de quienes se interesan por la ciencia siempre ha sido la posibilidad de los viajes en el espacio. Además de las interpretaciones teóricas que han hecho Einstein y otros sobre la utilización de las geometrías no euclídeas para comprender la forma de universo y de la posibilidad de movernos en este, surge una situación más práctica e inmediata.

 

La basura espacial es un grave problema que los científicos modernos afrontan día a día al tratar sobre cualquier misión espacial. Un fenómeno en el cual muy pocos pensamos es el hecho de que desde que inició carrera espacial por parte de Estados Unidos y Rusia inicialmente, y la más reciente aparición de otras naciones con capacidad aeroespacial, la basura espacial se está acumulando en la parte alta de la atmósfera terrestre. Este fenómeno de dejar basura en el espacio, orbitando alrededor de la Tierra, no es solamente el mero hecho de que algún objeto quede ahí o no. Primero está la situación de que hay muchos objetos dejados como basura espacial, aunado al poco interés por “limpiar” ese espacio de la atmosfera terrestre. Objetos tan simples como pequeñas herramientas que los astronautas han perdido en alguna caminata espacial, y otros tan complejos y grandes como satélites en desuso, forman parte de esa basura. Prácticamente ningún país ni empresa desea atacar dicho problema, pues los costos de una misión así, o los costos de la reparación, habilitación y puesta en órbita de un satélite son mucho mayores al de crear uno nuevo.

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 5: Basura espacial

En segundo lugar hay otro elemento igual de preocupante. Aun si se diera que ya nunca más ningún país o empresa dejara desechos en el espacio, la basura ya existente se reproduce a sí misma, comportándose como un tipo de figura fractal. A esto se llama el efecto Kessler. Cuando un objeto es dejado en órbita alrededor de la Tierra, este no queda estático, sino que adquiere la misma velocidad a la que gira el planeta. Y aunque no lo veamos, por el efecto de la gravedad, nos movemos junto con la Tierra a una velocidad aproximada de 107.000 km/h.

 

Esa misma velocidad adquieren todos los objetos que giran en torno a la Tierra: naves espaciales en servicio, estación espacial internacional, satélites activos, y demás objetos en desuso (basura espacial) que quedan flotando a la deriva. Como podrá comprenderse, estos objetos adquieren además una órbita circular describiendo círculos máximos alrededor de la Tierra, y según la geometría esférica, estos están destinados a cruzarse en algún momento, pues en la geometría esférica no existen líneas paralelas. Es decir, todos los objetos que son basura espacial están en ruta de colisión con todos los demás, y la pregunta no es si van a chocar o no, sino cuándo.

 

Recordemos que tales objetos viajan a 107.000 km/h. Un choque a esa velocidad, sin excepción, provocará que de dos objetos en colisión se originen muchos más objetos que tendrán las mismas condiciones de velocidad y complejidad que les dieron origen. Y estos, por describir el tipo de ruta que tienen, y las condiciones de velocidad y fuerza, seguirán colisionando unos contra otros indefinidamente.

 

Es decir, son objetos fractales, con trayectorias esféricas en ruta constante de colisión. ¿Será posible, desde este punto de vista, que en su constante orbitar en torno a la Tierra estos objetos fractales describan un perímetro infinito, y que el área finita que llegarán a cubrir sea el espacio aéreo que rodea a todo el planeta? En efecto, hemos de decir, ya hay grandes preocupaciones en torno al problema práctico de las futuras misiones espaciales, pues, como puede comprenderse, cualquier colisión de un cuerpo extraño con una nave espacial pondría en serio peligro a los tripulantes y la misión misma.

 

Vemos así que la aplicación de las geometrías no euclídeas va más allá del mero ejercicio mental, dado que se encuentran situaciones reales y serias de este tipo de geometrías. De hecho son muchas las disciplinas tanto matemáticas como físicas y tecnológicas que llevan dentro de sus principales postulados y teoría unificadora a las geometrías no euclídeas como eje conductor de sus principales postulados.

Referencias y bibliografía

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